Question

定義在R上的單調函數f(x)滿足f(3)=log₂3且對任意x，y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)．

(1)求證f(x)為奇函數；

(2)若f(k·3)+f(3-9-2)＜0對任意x∈R恒成立，求實數k的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

(1)見解析

(2) R恒成立．

【解析】（1）證明奇偶性根據定義，可根據x,y取值的任意性，給x,y賦值，顯然可以令y=-x,所以需要令x=y=0,求出f(0)的值.問題基本就可以解決.

（2）本小題可根據奇函數這個條件把不等式轉化為,然后再研究函數f(x)的單調性，利用單調性把不等式中函數值的大小關系轉化為變量的大小關系，從而脫掉法則符號f,求解即可

(1)證明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x，y∈R)，　　　　　①

令x=y=0，代入①式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0．

令y=-x，代入①式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)，又f(0)=0，則有

0=f(x)+f(-x)．即f(-x)=-f(x)對任意x∈R成立，所以f(x)是奇函數．

(2)解：f(3)=log3＞0，即f(3)＞f(0)，又f(x)在R上是單調函數，所以f(x)在R上是增函數，又由(1)f(x)是奇函數．

f(k·3)＜-f(3-9-2)=f(-3+9+2)，  k·3＜-3+9+2，

3-(1+k)·3+2＞0對任意x∈R成立．

令t=3＞0，問題等價于t-(1+k)t+2＞0對任意t＞0恒成立．

R恒成立