Question

如圖，在棱長為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N、P分別是棱DD₁、CD、AD的中點．
（1）求證：平面MNP∥平面A₁C₁B．
（2）將正方體沿平面A₁C₁B截出一個三棱錐B₁-A₁C₁B，求次棱錐的體積與剩下的幾何體體積的比．
（3）求直線B₁D與直線MN所成的角．

Answer 1

考點：平面與平面平行的判定,異面直線及其所成的角

專題：證明題,空間位置關系與距離

分析：（1）通過證明AC∥A₁C₁，證明AC∥平面A₁C₁B，根據AC∥PN，可證PN∥平面A₁C₁B，同理MN∥平面A₁C₁B，由面面平行的判定定理得平面MNP∥平面A₁C₁B；
（2）計算截去的三棱錐的體積，可得截去的三棱錐的體積與剩下的幾何體體積的比；
（3）先證DC₁為DB₁在平面CDD₁C₁內的射影，再根據三垂線定理證明MN⊥DB₁，可得直線B₁D與直線MN所成的角．

解答： 解：（1）證明：連接AC，∵AA₁∥CC₁，又AA₁=CC₁，
∴四邊形ACC₁A₁為平行四邊形，AC∥A₁C₁，AC?平面A₁C₁B，∴AC∥平面A₁C₁B，
又AC∥PN，∴PN∥平面A₁C₁B，
同理MN∥平面A₁C₁B，又MN∩PN=N，∴平面MNP∥平面A₁C₁B；
（2）VB1-A1C1B=

1

3

×

1

2

×a×a×a=

1

6

a³，
∴截去的三棱錐的體積與剩下的幾何體體積的比為1：5；
（3）連接DC₁，CD₁，∵B₁C₁⊥平面CDD₁C₁，∴DC₁為DB₁在平面CDD₁C₁內的射影，
∵DC₁⊥CD₁，又MN∥CD₁，由三垂線定理得：MN⊥DB₁，
即直線B₁D與直線MN所成的角為90°．

點評：本題考查了線面平行，面面平行的判定，考查了異面直線所成角的求法及棱錐的體積計算，考查學生的空間想象能力與推理論證能力，熟練掌握線面平行，面面平行的判定定理及異面直線所成角的定義是解題的關鍵．