Question

已知數列{an}中，a1=2，an+1=2an-

n+2

n(n+1)

．
（I）求證數列{an-

1

n

}成等比數列，并求數列{a_n}的通項公式；
（II）若b_n=na_n，求數列{b_n}的前n項和S_n；
（III）求證：

1

a1-1

+

1

a2-1

+…+

1

an-1

＜3．

Answer 1

分析：（I）由an+1=2an-

n+2

n(n+1)

，可得an+1-

1

n+1

=2(an-

1

n

)，所以可證數列{an-

1

n

}是以1為首項，2為公比的等比數列，進而可求數列{a_n}的通項公式；
（II）因為b_n=na_n=n•2^n-1+1，所以S_n=b₁+b₂++b_n=（1+2×2¹++n×2^n-1）+n
記T_n=1+2×2¹++n×2^n-1，于是2T_n=2+2×2²++n×2ⁿ，錯位相減得T_n=（n-1）×2ⁿ+1，從而可求數列{b_n}的前n項和S_n；
（III）由an=2n-1+

1

n

知an≥2，a1=2，a2=

5

2

，當n≥2時，an+1=2an-

n+2

n(n+1)

知an+1-1=2(an-1)+

n2-2

n(n+1)

＞ 2(an-1)，從而有

1

ak-1

＜

1

2k-2

(k=3.4，，n)進而可用放縮法轉化為等比數列求和，故問題得證．

解答：證明：（I）∵an+1-

1

n+1

=2(an-

1

n

)，∴數列{an-

1

n

}是以1為首項，2為公比的等比數列，∴an-

1

n

=2n-1，∴an=2n-1+

1

n

（II）∵b_n=na_n=n•2^n-1+1，∴S_n=b₁+b₂++b_n=（1+2×2¹++n×2^n-1）+n
記∴T_n=1+2×2¹++n×2^n-1，于是2T_n=2+2×2²++n×2ⁿ，兩式相減化簡得T_n=（n-1）×2ⁿ+1，∴數列{b_n}的前n項和S_n=（n-1）×2ⁿ+n+1；
（III）由an=2n-1+

1

n

知an≥2，a1=2，a2=

5

2

當n≥2時，an+1=2an-

n+2

n(n+1)

知an+1-1=2(an-1)+

n2-2

n(n+1)

＞ 2(an-1)，∴ak-1＞2(ak-1-1)＞＞2k-2•

3

2

＞2k-2即

1

ak-1

＜

1

2k-2

(k=3.4，，n)
當n=1，2時，結論成立．
當n≥3時，

1

a1-1

+

1

a2-1

+…+

1

an-1

＜1+

2

3

+

1

2

+

1

22

++

1

2n-2

=

5

3

+

1 2 (1- 1 2n-2 )

1- 1 2

 ＜

8

3

＜3，∴

1

a1-1

+

1

a2-1

+…+

1

an-1

＜3

點評：本題考查等比、等差數列、不等式和數列的有關知識，化歸、遞推等數學思想方法，同時考查運算能力，推理論證以及綜合運用有關知識分析解決問題的能力．