Question

已知關于x的不等式

x-a

x+1

＜0的解集為P，函數f(x)=

-x2+3x

的定義域為Q．
（Ⅰ）若a=3，求集合P；
（Ⅱ）若Q∪P=P，求正數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）將a=3代入不等式，求出不等式的解集即可確定出集合P；
（Ⅱ）根據負數沒有平方根求出x的范圍確定出Q，根據a大于0表示出P，由Q∪P=P，得到Q為P的子集，即可求出a的范圍．

解答：解：（Ⅰ）由

x-3

x+1

＜0，得（x-3）（x+1）＜0，
解得：-1＜x＜3，
則P={x|-1＜x＜3}；
（Ⅱ）f（x）=

-x2+3x

的定義域為-x²+3x≥0，
解得：0≤x≤3，即Q={x|0≤x≤3}，
由a＞0，得（x-a）（x+1）＜0，
解得：-1＜x＜a，即p={x|-1＜x＜a}，
又∵Q∪P=P，∴Q⊆P，
∴a＞3，即a的取值范圍是（3，+∞）．

點評：此題考查了其他不等式的解法，并集及其運算，集合間的包含關系，以及函數的定義域及其求法，利用了轉化的思想，是一道基本題型．