Question

已知關(guān)于x的不等式x+

1

x-a

≥7在x∈(a，+∞)上恒成立，則實數(shù)a的最小值為

5

．

Answer 1

分析：構(gòu)造函數(shù)g（x）=x+

1

x-a

-7，（x＞a），利用g（x）在（a，a+1]上單調(diào)遞減，在[a+1，+∞）上單調(diào)遞增即可求得答案．

解答：解：令g（x）=x+

1

x-a

-7，
則g（x）=（x-a）+

1

x-a

+a-7，
由雙鉤函數(shù)的性質(zhì)得：g（x）在（a，a+1]上單調(diào)遞減，在[a+1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴g（x）_min=g（a+1）=1+a+1-7=a-5≥0．
∴a≥5．
∴實數(shù)a的最小值為5．
故答案為：5

點評：本題考查雙鉤函數(shù)的單調(diào)性，分析出g（x）=x+

1

x-a

-7在x=a+1處取到最小值是關(guān)鍵，也是難點，屬于中檔題．