Question

如圖，PDCE為矩形，ABCD為梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=

1

2

CD=a，PD=

2

a．
（1）若M為PA中點，求證：AC∥平面MDE；
（2）求平面PAD與PBC所成銳二面角的大小（理）；
求二面角P-AC-D的正切值的大小（文）．

Answer 1

（1）證明：連接PC，交DE與N，連接MN，
在△PAC中，∵M，N分別為兩腰PA，PC的中點，
∴MN∥AC，…（2分）
又∵AC?面MDE，MN?面MDE，
∴AC∥平面MDE．…（4分）
（2）（理）以D為空間坐標系的原點，
分別以DA，DC，DP所在直線為x，y，z軸，
建立空間直角坐標系，
由題意知P（0，0，

2

a），B（a，a，0），C（0，2a，0），
∴

PB

=（a，a，-

2

a），

BC

=（-a，a，0），…（6分）
設(shè)平面PAD的單位法向量為

n1

，則可取

n1

=（0，1，0），…（7分）
設(shè)面PBC的法向量

n2

=（x，y，z），
則

n2

•

PB

=0，

n2

•

BC

=0，
∴

ax+ay- 2 az=0 -ax+ay=0

，∴

n2

=（

2

2

，

2

2

，1），…（10分）
設(shè)平面PAD與平面PBC所成銳二面角的大小為θ，
∴cosθ=|cos＜

n1

，

n2

＞|=|

2 2

1× 2

|=

1

2

，…（11分）
∴θ=60°，
∴平面PAD與平面PBC所成銳二面角的大小為60°．…（12分）
（文）過點D作DE⊥AC，交AC于E，連結(jié)PE，
∵PD⊥平面ADC，
∴∠PED是二面角P-AC-D的平面角，…（7分）
∵∠ADC=90°，AB=AD=

1

2

CD=a，PD=

2

a，
∴AC=

a2+(2a)2

=

5

a，
DE=

AD•DC

AC

=

a•2a

5 a

=

2

5

a，．…（10分）
∴tan∠PED=

PD

DE

=

2 a

2 5 a

=

10

2

，
∴二面角P-AC-D的正切值為

10

2

．…（12分）