Question

【題目】已知為實常數，函數.

（1）討論函數的單調性；

（2）若函數有兩個不同的零點，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ） 在上是增函數，在上是減函數；

（Ⅱ） 的取值范圍是

【解析】

試題分析：

（1）求出函數的定義域后對函數進行求導，通過討論導函數的符號，即可得出函數的單調性.（2）在（1）的基礎上知，函數有兩個不同的零點的必要條件是a＞0且（）=ln＞0，解得0＜a＜1.為求充分條件，通過分析后取x=（）=﹣1﹣+1=﹣＜0，由函數零點存在定理知在（，）存在一個零點. 再取x=，通過分析后（）＜0，易知存在x∈（，），使得（x）=0，所以可知0＜a＜1時函數有兩個不同的零點.

試題解析：

解：（Ⅰ）（x） =lnx+1﹣ax，

函數（x）的定義域為（0，+∞），其導數′（x）=．

①當a≤0時，′（x）＞0，函數（x）在（0，+∞）上是增函數；

②當a＞0時，′（x）＞00＜x＜；′（x）＜0x＞．

所以函數（x）在（0，）上是增函數，在（，+∞）上是減函數．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，當a≤0時，函數（x）在（0，+∞）上是增函數，不可能有兩個零點；

當a＞0時，函數（x）在（0，）上是增函數，在（，+∞）上是減函數，

此時（）為函數g（x）的最大值，

若（）≤0，則函數（x）最多有一個零點，不合題意，

所以（）=ln＞0，解得0＜a＜1．

因為，＜1＜＜，取（）=﹣1﹣+1=﹣＜0，

則x1∈（，），使得（x1）=0；

取（）=2﹣2lna﹣（0＜a＜1），

令F（a）=2﹣2lna﹣（0＜a＜1），則F′（a）=﹣+=＞0，（0＜a＜1），

所以F（a）在（0，1）上單調遞增．

所以F（a）＜F（1）=2﹣e＜0，即（）＜0，則x2∈（，），使得（x2）=0，

故函數（x）有兩個不同的零點x1，x2（x1＜x2），且x1，x2∈（，）．

綜上a的取值范圍是（0，1）．