Question

已知曲線y=2x-x³上一點P（-1，-1），求：
（1）點P處的切線方程；
（2）點P處的切線與x軸、y軸所圍成的平面圖形的面積．

Answer 1

分析：（1）正確求解函數的導函數是解決本題的關鍵，把握好函數在點P處的切線的斜率與導數之間的關系，注意點斜式方程的準確運用；
（2）求出該切線與x軸、y軸的交點坐標是解決本題的關鍵，運用所得圖形是直角三角形，根據直角三角形的面積計算公式求出所得圖形的面積．

解答：解：（1）y'=2-3x²∴y'|_x=-1=2-3×（-1）²=-1，
∴切線方程為y-（-1）=-[x-（-1）]
即x+y+2=0
（2）切線x+y+2=0在x軸、y軸上的截距都是-2，
故切線與x軸、y軸所圍成的平面圖形為直角三角形，
其面積為S=

1

2

×|-2|×|-2|=2．

點評：本題考查函數的導數的幾何意義，考查學生運用基本的導數知識解決數學問題的能力和方法，考查學生的運算能力、轉化與化歸的思想和方法．注意直線與坐標軸圍成圖形的面積的求法．