Question

橢圓的右焦點為F，過原點和x軸不重合的直線與橢圓E交于A，B，兩點，|AF|+|BF|=4，的最小值為0.5．
（I）求橢圓E的方程；
（II）若直線l：y=kx+m與橢圓E交于M，N兩點（其中5m+6k≠0），以線段MN為直徑的圓過E的右頂點，求證：直線l過定點．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用橢圓的對稱性，根據過原點和x軸不重合的直線與橢圓E交于A，B，兩點，|AF|+|BF|=4，可求得a=2；利用正弦定理，結合的最小值為0.5，可求得b=1，從而可求橢圓E的方程；
（II）將直線方程與橢圓方程聯立得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0．由題意得△＞0，即m²-1-4k²＜0．
設交點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），根據以線段MN為直徑的圓過E的右頂點可得（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂=0，從而有（m+2k）（5m+6k）=0，注意到5m+6k≠0，解得m=-2k，由此可證直線l過定點
解答：解：（I）設橢圓的左焦點為F′，由橢圓的對稱性，
因為|AF|+|BF|=4，所以|AF|+|AF′|=4，所以2a=4，即a=2，
在三角形AFB中，由正弦定理得
因為0≤x₁²≤a²，所以
所以b=1
所以所求橢圓方程為；…5分
（Ⅱ） 由得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0．
由題意得△＞0，即m²-1-4k²＜0．（※）

設交點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則
 
因為以MN為直徑的圓過C（2，0），∴
∵=（x₁-2，y₁），═（x₂-2，y₂），
所以（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂=0，
即（x₁-2）（x₂-2）+（k x₁+m）（kx₂+m ）=0，整理得
5m²+16km+12k²=0，（m+2k）（5m+6k）=0，注意到5m+6k≠0
 故解得m=-2k．經檢驗，滿足（※）式．
m=-2k時，直線方程為y=k（x-2），恒過定點（2，0）…12分
點評：本題以橢圓的性質為載體，考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查直線恒過定點問題，解題的關鍵是聯立方程組，利用韋達定理，合理轉化．