Question

已知△ABC的三邊長|CB|，|AB|，|CA|成等差數列，若點A，B的坐標分別為（-1，0），（1，0）．
（Ⅰ）求頂點C的軌跡W的方程；
（Ⅱ）若線段CA的延長線交軌跡W于點D，當時，求線段CD的垂直平分線l與x軸交點的橫坐標的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據橢圓的定義求軌跡方程．
（2）設出直線AC方程，代入橢圓，據根與系數的關系求出CD中點的坐標，得到CD垂直平分線l的方程，令y=0，得l與x軸交點的橫坐標解析式，利用導數判斷解析式的單調性，據單調性得出l與x軸交點的橫坐標的取值范圍．
解答：解：
（Ⅰ）因為|CB|，|AB|，|CA|成等差數列，
點A、B的坐標分別為（-1，0），（1，0）
所以|CB|+|CA|=2|AB|=4且4＞|AB|
由橢圓的定義可知點C的軌跡是以A，B為焦點、長軸為4的橢圓（去掉長軸的端點），
所以．
故頂點C的軌跡W方程為．（4分）
（Ⅱ）由題意可知直線AC的斜率存在，設直線AC方程為y=k（x+1）．
由得 （3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0，
設C，D兩點坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
則，，
所以線段CD中點E的坐標為，
故CD垂直平分線l的方程為，
令y=0，得l與x軸交點的橫坐標為，
由得，解得-1＜x₁≤0，
又因為，所以．
當-1＜x₁≤0時，有，此時函數遞減，
所以k²≥3．所以，．
故直線l與x軸交點的橫坐標的范圍是．（13分）
點評：本題考查等差數列的性質、橢圓的定義，直線與圓錐曲線的綜合應用．