Question

已知△ABC的三邊長分別為a，b，c，其面積為S，則△ABC的內切圓的半徑r=

2S

a+b+c

．這是一道平面幾何題，請用類比推理方法，猜測對空間四面體ABCD存在什么類似結論？

 

．

Answer 1

分析：根據平面與空間之間的類比推理，由點類比點或直線，由直線 類比 直線或平面，由內切圓類比內切球，由平面圖形面積類比立體圖形的體積，結合求三角形的面積的方法類比求四面體的體積即可．

解答：解：設四面體的內切球的球心為O，
則球心O到四個面的距離都是R，
所以四面體的體積等于以O為頂點，
分別以四個面為底面的4個三棱錐體積的和．
則四面體的體積為 V四面體A-BCD=

1

3

(S1+S2+S3+S4)γ
猜想：四面體ABCD的各表面面積分別為S₁，S₂，S₃，S₄，其體積為V，
則四面體ABCD的內切球半徑r=

3V

S1+S2+S3+S4

故答案為：r=

3V

S1+S2+S3+S4

點評：本題主要考查類比推理．類比推理是指依據兩類數學對象的相似性，將已知的一類數學對象的性質類比遷移到另一類數學對象上去．一般步驟：①找出兩類事物之間的相似性或者一致性．②用一類事物的性質去推測另一類事物的性質，得出一個明確的命題（或猜想）．