Question

已知橢圓的長軸長是短軸長的兩倍，且過點C（2，1），點C關于原點O的對稱點為點D．
（I）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）點P在橢圓E上，直線CP和DP的斜率都存在且不為0，試問直線CP和DP的斜率之積是否為定值？若是，求此定值；若不是，請說明理由：
（Ⅲ）平行于CD的直線l交橢圓E于M，N兩點，求△CMN面積的最大值，并求此時直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由橢圓長軸長是短軸長的兩倍設出橢圓的方程，把點C的坐標代入橢圓方程可求解b，則橢圓的方程可求；
（Ⅱ）設出P點的坐標，寫出直線CP和DP的斜率，由點P在橢圓上得到P點橫縱坐標的關系式，代入斜率乘積的表達式整理可得直線CP和DP的斜率之積為定值；
（Ⅲ）由直線l平行于CD，設出直線l的斜截式方程，和橢圓方程聯立后求出弦MN的長度，由點到直線的距離公式求出C到MN的距離，代入面積公式后利用基本不等式求最大值，并求出使面積最大時的直線l的方程．
解答：解：（Ⅰ）∵2a=2•2b，∴a=2b．
設橢圓方程為．
橢圓E過點C（2，1），
代入橢圓方程得，解得，則，
所以所求橢圓E的方程為；
（Ⅱ）依題意得D（-2，-1）在橢圓E上．
CP和DP的斜率K_CP和K_DP均存在．
設P（x，y），則，，
①
又∵點P在橢圓E上，
∴，∴x²=8-4y²，代入①得，
．
所以CP和DP的斜率K_CP和K_DP之積為定值
（Ⅲ）CD的斜率為，∵CD平行于直線l，∴設直線l的方程為．
由，
消去y，整理得x²+2tx+（2t²-4）=0．
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
由，得|MN|=
=．
．
所以，
當且僅當t²=4-t²時取等號，即t²=2時取等號
所以△MNC面積的最大值為2．
此時直線l的方程
點評：本題考查了橢圓的標準方程，考查了橢圓的簡單幾何性質，考查了直線與圓錐曲線的關系，訓練了利用弦長公式求弦長，考查了利用基本不等式求最值，是有一定難度題目．