Question

把函數f（x）=x³-3x的圖象C₁向右平移u個單位長度，再向下平移v個單位長度后得到圖象C₂、若對任意的u＞0，曲線C₁與C₂至多只有一個交點，則v的最小值為（　　）

• A、2
• B、4
• C、6
• D、8

Answer 1

分析：由平移規律得出平移后的曲線對應的解析式，因兩曲線有交點，故相應方程有根，對方程（x-u）³-3（x-u）-v=x³-3x，進行變形，得出v關于u 的不等式，轉化成恒成立的問題求參數v的范圍．

解答：解：根據題意曲線C的解析式為y=（x-u）³-3（x-u）-v，
由題意，方程（x-u）³-3（x-u）-v=x³-3x至多有一個根，
即3ux²-3xu²+（u³-3u+v）=0至多有一個根，
故有△=9u⁴-12u（u³-3u+v）≤0對任意的u＞0恒成立
整理得v≥-

1

4

u3+3u對任意u＞0恒成立，
令g(u)=-

1

4

u3+3u(u＞0)，
則g((u)=-

3

4

u2+3=-

3

4

(u-2)(u+2)
由此知函數g（u）在（0，2）上為增函數，
在（2，+∞）上為減函數，
所以當u=2時，函數g（u）取最大值，即為4，于是v≥4；
故選B．

點評：考查據題意進行轉化的能力，以及觀察變形的能力，解本題過程中，把一個變量表示成另一個變量的函數，依據不等式恒成立的問題轉化求求函數的最值來求出參數的范圍，題型新穎．