Question

【題目】已知橢圓 =1（a＞b＞0）經過點（0， ），離心率為 ，左右焦點分別為F1（﹣c，0），F2（c，0）．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若直線l：y=﹣ x+m與橢圓交于A、B兩點，與以F1F2為直徑的圓交于C、D兩點，且滿足 = ，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意可得 ，
解得 ，c=1，a=2．
∴橢圓的方程為 ．
（Ⅱ）由題意可得以F1F2為直徑的圓的方程為x2+y2=1．
∴圓心到直線l的距離d= ，
由d＜1，可得 ．（*）
∴|CD|=2 = = ．
設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）．
聯立 ，
化為x2﹣mx+m2﹣3=0，
可得x1+x2=m， ．
∴|AB|= = ．
由 = ，得 ，
解得 滿足（*）．
因此直線l的方程為
【解析】（Ⅰ）由題意可得 ，解出即可．（Ⅱ）由題意可得以F1F2為直徑的圓的方程為x2+y2=1．利用點到直線的距離公式可得：圓心到直線l的距離d及d＜1，可得m的取值范圍．利用弦長公式可得|CD|=2 ．設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）．把直線l的方程與橢圓的方程聯立可得根與系數的關系，進而得到弦長|AB|= ．由 = ，即可解得m．
【考點精析】認真審題，首先需要了解橢圓的標準方程(橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：)．