Question

已知F₁、F₂是雙曲線的兩個焦點，P是雙曲線上的一點，若|PF₁|，|PF₂|，|F₁F₂|依次成公差為正數的等差數列，則△F₁PF₂的面積為    ．

Answer 1

【答案】分析：本題首先要根據雙曲線的定義寫出|PF₁|，|PF₂|所滿足的條件，再根據|PF₁|，|PF₂|，|F₁F₂|依次成公差為正數的等差數列寫出另一個等式，兩式組成方程組，解出三角形三邊的長度，問題轉化為已知三邊求面積的問題，先用余弦定理求一個角，再求這個角的正弦值，做出面積．
解答：解：∵|PF₁|，|PF₂|，|F₁F₂|依次成公差為正數的等差數列，
∴2|PF₂|=|PF₁|+|F₁F₂|
∵|PF₂|-|PF₁|=2a，
∴|PF₂|=2（c-a）=6，
|PF₁|=2c-4a=4，
|F₁F₂|=8，
已知三角形的三條邊的長度求△F₁PF₂的面積，
設邊長是8的邊所對的角是θ，
∵cosθ==-，
又本角是三角形的內角，
∴sinθ=，
∴△F₁PF₂的面積==3，
故答案為：3．
點評：本題是一個大型綜合題，解綜合題的成敗在于審清題目，弄懂來龍去脈，透過給定信息的表象，抓住問題的本質，揭示問題的內在聯系和隱含條件，明確解題方向，形成解題策略．