Question

在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別a，b，c，給出下列結論：
①A＞B＞C，則sinA＞sinB＞sinC；
②若

sinA

a

=

cosB

b

=

cosC

c

，△ABC為等邊三角形；
③必存在A，B，C，使tanAtanBtanC＜tanA+tanB+tanC成立；
④若a=40，b=20，B=25°，△ABC必有兩解．
其中，結論正確的編號為

①④

（寫出所有正確結論的編號）．

Answer 1

分析：①由正弦定理，將角轉化為邊的關系，進而判斷，角的正弦值之間的關系．②由正弦定理，得出角的正弦值與余弦值之間的關系，從而求出角，A，B，C的大小．
③利用兩角和的正切公式，將不等式進行化簡，然后進行判斷．④根據邊角關系，判斷三角形解的個數．

解答：解：①在三角形中，A＞B＞C，得a＞b＞c．，由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

可知sinA＞sinB＞sinC，所以①正確．
②由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

條件知，

cos?B

cos?C

=

sin?B

sin?C

，即sinBcosC=cosBsinC，所以sinBcosC-cosBsinC=sin（B-C）=0，
解得B=C． 所以△ABC為等腰三角形，所以②錯誤．
③tanA+tanB+tanC-tanAtanBtanC=tan（A+B）（1-tanAtanB）+tanC-tanAtanBtanC=-tanC（1-tanAtanB）+tanC-tanAtanBtanC=-tanC．
若C為銳角，則tanA+tanB+tanC-tanAtanBtanC＜0，此時tanAtanBtanC＞tanA+tanB+tanC．
若C為鈍角，則tanA+tanB+tanC-tanAtanBtanC＜0，此時tanAtanBtanC＜tanA+tanB+tanC．所以③錯誤．
④因為asinB=40sin250＜40sin300=40×

1

2

=20，即asinB＜b＜a，所以，△ABC必有兩解．所以④正確．
故答案為：①④．

點評：本題主要考查與三角函數有關的命題的真假判斷，要求熟練掌握相關的三角公式和定理．