Question

設圓（x-3）²+（y+5）²=r²（r＞0）上有且僅有兩個點到直線4x-3y-2=0的距離等于1，則圓半徑r的取值范圍是

 

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Answer 1

分析：先根據圓的方程求得圓心坐標和圓心到已知直線的距離，進而可推斷出與直線4x-3y-2=0距離是1的兩個直線方程，分別求得圓心到這兩直線的距離，分析如果與4x-3y+3=0相交 那么圓也肯定與4x-3y-7=0相交 交點個數多于兩個，則到直線4x-3y-2=0的距離等于1的點不止2個，進而推斷出圓與4x-3y+3=0不相交；同時如果圓與4x-3y-7=0的距離小于等于1 那么圓與4x-3y-7=0和4x-3y+3=0交點個數和至多為1個 也不符合題意，最后綜合可知圓只能與4x-3y-7=0相交，與4x-3y+3=0相離，進而求得半徑r的范圍．

解答：解：依題意可知圓心坐標為（3，-5），到直線的距離是5
與直線4x-3y-2=0距離是1的直線有兩個4x-3y-7=0和4x-3y+3=0
圓心到4x-3y-7=0距離為

|12+15-7|

16+9

=4 到4x-3y+3=0距離是

|12+15+3|

16+9

=6
如果圓與4x-3y+3=0相交 那么圓也肯定與4x-3y-7=0相交，
交點個數多于兩個，于是圓上點到4x-3y-2=0的距離等于1的點不止兩個
所以圓與4x-3y+3=0不相交
如果圓與4x-3y-7=0的距離小于等于1，那么圓與4x-3y-7=0和4x-3y+3=0交點個數和至多為1個
所以圓只能與4x-3y-7=0相交，與4x-3y+3=0相離
所以 4＜r＜6
故答案為：（4，6）

點評：本題主要考查了圓與圓的位置關系和判定．考查了學生分析問題和數形結合思想的運用．要求學生有嚴密的邏輯思維能力．