Question

選做題
（A）選修4-1：幾何證明選講
如圖，AB是半圓O的直徑，延長AB到C，使，CD切半圓于點D，DE⊥AB，垂足為E，若AE：EB=3：1，求DE的長．
（B）選修4-2：矩陣與變換
在平面直角坐標系xOy中，直線y=kx在矩陣對應的變換下得到的直線經過點P（4，1），求實數k的值．
（C）選修4-4：坐標系與參數方程
在極坐標系中，已知圓ρ=asinθ（a＞0）與直線相切，求實數a的值．
（D）選修4-5：不等式選講
已知a，b，c滿足abc=1，求證：（a+2）（b+2）（c+2）≥27．

Answer 1

【答案】分析：（A）連接OD、BD，由題目中條件知：“DE⊥AB，垂足為E，且E是OB的中點”可得三角形BOD是等邊三角形，設圓的半徑為R，再在直角三角形OCD中，可得CD的長，最后根據題中圓的切線條件再依據切割線定理求得DE的長．
（B）設變換T：→，直線y=kx上任意一點（x，y），（x′，y′）是所得的直線上一點，根據矩陣變換特點，寫出兩對坐標之間的關系，把已知的點的坐標代入得到直線的方程，得到結果．
（C）先圓ρ=acosθ與直線，利用直角坐標與極坐標間的關系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，進行代換即得直角坐標系，再利用直角坐標方程求解即可．
（D）：將（a+2）（b+2）（c+2）展開，再利用基本不等式結合條件abc=1，即可證得．
解答：解：（A）連接OD，
∵DE⊥AB，垂足為E，且AE：EB=3：1得E是OB的中點
∴可得等腰三角形BOD是等邊三角形，
在直角三角形OCD中，∠COD=60°，設圓的半徑為R，
∴可得CD=OD=R，
∵CD是圓O的切線，∴由切割線定理得，
∴CD²=CB×CA，
即3R²=×（+2R）
∴R=，
∴DE=OE=×=；
（B）：設變換 T：→，
則  =，（5分）
即 代入直線y=kx得y'=kx'，
將點P（4，1）代入，
得k=．
（C）：p²=apcosθ，圓ρ=acosθ的普通方程為：x²+y²=ax，（x-a）²+y²=a²，
直線的普通方程為：x-y-=0，
又圓與直線相切，所以 =a，解得：a=-±2．
∵a＞0，∴a=-+2．
（D）：（a+2）（b+2）（c+2）
=abc+2（ab+bc+ca）+4（a+b+c）+8
≥1+2×3+4×3+8
=27，當且僅當a=b=c時等號成立．
點評：本題主要考查二階矩陣的變換，簡單曲線的極坐標方程，不等式的證明等．考查運算求解能力．