Question

【題目】已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在坐標軸上，焦距長為2，左準線為： ．

（1）求橢圓的方程及其離心率；

（2）若過點的直線交橢圓于， 兩點，且為線段的中點，求直線的方程；

（3）過橢圓右準線上任一點引圓： 的兩條切線，切點分別為， ．試探究直線是否過定點？若過定點，請求出該定點；否則，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）， （2）（3）.

【解析】試題分析：（1）根據條件可得關于a,b,c方程組，解得， ，即得橢圓的方程及其離心率；（2）利用點差法得中點坐標與弦斜率關系式，解得斜率，根據點斜式得直線的方程；（3）先根據兩圓：以為直徑的圓與圓方程相減得切點弦方程，再根據方程恒等得定點

試題解析：（1）設橢圓方程為，則，所以，

又其準線為，所以，則，

所以橢圓方程為，其離心率為．

（2）設點和點坐標分別為， ，因為點和點都在橢圓上，

所以兩式相減得，

又點為線段的中點，所以， ，

所以直線的斜率為，

所以直線的方程為，即．

（3）直線恒過定點．　

因為橢圓的右準線方程為，所以設點坐標為，圓心坐標為，

因為直線， 是圓的兩條切線，所以切點， 在以為直徑的圓上.

所以該圓方程為，

兩圓方程相減，得直線的方程，

即，由得

所以直線必過定點.