Question

在數列{a_n}中，a₁=1，當n≥2時，a_n,S_n,S_n－成等比數列.

(1)求a₂,a₃,a₄，并推出a_n的表達式；(2)用數學歸納法證明所得的結論；

(3)求數列{a_n}前n項的和.

 

Answer 1

【答案】

解：∵a_n,S_n,S_n－成等比數列，∴S_n²=a_n·(S_n－)(n≥2)                       (^*)

(1)由a₁=1,S₂=a₁+a₂=1+a₂,代入(^*)式得:a₂=－

由a₁=1，a₂=－,S₃=+a₃代入(^*)式得：a₃=－

同理可得：a₄=－,由此可推出：a_n=

(2)①當n=1,2,3,4時，由(^*)知猜想成立.

②假設n=k(k≥2)時，a_k=－成立

故S_k²=－·(S_k－)

∴(2k－3)(2k－1)S_k²+2S_k－1=0

∴S_k= (舍)

由S_k+1²=a_k+1·(S_k+1－),得(S_k+a_k+1)²=a_k+1(a_k+1+S_k－)

由①②知，a_n=對一切n∈N成立.

(3)由(2)得數列前n項和S_n= .

 

【解析】略