Question

設a∈R，f（x）=

a•2x+a-2

2x+1

（x∈R），
（1）確定a的值，使f（x）為奇函數．
（2）當f（x）為奇函數時，對于給定的正實數k，解不等式 f^-1（x）＞log₂

1+x

k

．
（3）設g（n）=

n

n+1

（n∈N）．當f（x）是奇函數時，試比較f（n）與g（n）的大小．

Answer 1

分析：（1）先把解析式變為f（x）=

a•2x+a-2

2x+1

=a+

-2

2x+1

，用f（x）+f（-x）=0這一方程求出a的值；
（2）當f（x）為奇函數時，求出其反函數，代入不等式 f^-1（x）＞log₂

1+x

k

，其解集需要用參數k來表示；
（3）作差，整理后，探究差的符號，比較出f（n）與g（n）的大小．

解答：解：（1）f（x）=

a•2x+a-2

2x+1

=a+

-2

2x+1

，
由f（x）+f（-x）=0得a+

-2

2x+1

+a+

-2

2-x+1

=0，
整理得2a=

2(2x+1)

2-x+1

=2，
得a=1，即當a=1時f（x）為奇函數．
（2）由（1）得f（x）=1+

-2

2x+1

，
令y=1+

-2

2x+1

得2^x+1=

2

1-y

，
即2^x=-

1+y

1-y

，故x=log2

1+y

1-y

，
即 f^-1（x）=log2

1+x

1-x

，
代入不等式得log2

1+x

1-x

＞log₂

1+x

k

，故有k＞1-x整理得
又由于k＞0，故有x＞1-k，又函數的定義域是[-1，1]，故不等式的解集為[-1，1-k），
（3）f（n）-g（n）=1+

-2

2n+1

-

n

n+1

=1-

2n+2+n×2n+n

(2n+1)(n+1)

=

(2n+1)(n+1)-(3n+2+n×2n)

(2n+1)(n+1)

=

(n×2n+2n+n+1)-(3n+2+n×2n)

(2n+1)(n+1)

=

2n-2n-1

(2n+1)(n+1)

從差的形式看出，分母一定為正，差的符號由分子的符號確定，由于n∈N，下對n的取值進行討論，以確定差的正負
當n=0時，2ⁿ-2n-1=0故f（n）=g（n）
當n=1時，2ⁿ-2n-1=-1故f（n）＜g（n）
當n=2時，2ⁿ-2n-1=-1故f（n）＜g（n）
當n=3時，2ⁿ-2n-1=1故f（n）＞g（n）
當n=4時，2ⁿ-2n-1=7故f（n）＞g（n）
觀察知當n≥3時，總有2ⁿ-2n-1＞0，故當n≥3時，f（n）＞g（n）
綜上，當n=0時，f（n）=g（n）；當n=1或2時，f（n）＜g（n）；當n≥3時，f（n）＞g（n）．

點評：本題考點是反函數，綜合考查了利用奇偶性求參數，求反函數解不等式，以及作差法比較大小，對于一些不好利用單調性比較大小的非常規題，常用作差的方法通過研究差的符號來比較兩個數（或式）的大小．