Question

（2012•楊浦區二模）設a∈R，f（x）=

a•2x-a-2

2x+1

為奇函數．
（1）求實數a的值；
（2）設g（x）=2log₂（

1+x

k

），若不等式f^-1（x）≤g（x）在區間[

1

2

，

2

3

]上恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）f（x）=

a•2x-a-2

2x+1

=a-

a+a-2

2x+1

，由f（x）是奇函數，可得f（-x）=-f（x），代入化簡可求實數a的值；
（2）由y=f（x）=

2x-1

2x+1

可得f^-1（x）=log2

1+x

1-x

，不等式f^-1（x）≤g（x）在區間[

1

2

，

2

3

]上恒成立，即log2

1+x

1-x

≤2log₂（

1+x

k

）恒成立，即k²≤1-x²在區間[

1

2

，

2

3

]上恒成立，求出右邊函數的最小值，即可求實數k的取值范圍．

解答：解：（1）f（x）=

a•2x-a-2

2x+1

=a-

a+a-2

2x+1

由f（x）是奇函數，可得f（-x）=-f（x），
∴

a•2-x-a-2

2-x+1

=-

a•2x-a-2

2x+1

∴a-

a+a-2

2-x+1

=-a+

a+a-2

2x+1

∴2a=a+a^-2
∴a=1，
∴f（x）=

2x-1

2x+1

（2）由y=f（x）=

2x-1

2x+1

可得2x=

1+y

1-y

，∴x=log2

1+y

1-y

，∴f^-1（x）=log2

1+x

1-x

，
不等式f^-1（x）≤g（x）在區間[

1

2

，

2

3

]上恒成立，即log2

1+x

1-x

≤2log₂（

1+x

k

）恒成立，
即

1+x

1-x

≤(

1+x

k

)2恒成立
即k²≤1-x²在區間[

1

2

，

2

3

]上恒成立，
∵y=1-x²在區間[

1

2

，

2

3

]上單調遞減
∴ymin=

5

9

∴k2≤

5

9

∴-

5

3

≤k≤

5

3

．

點評：本題考查函數的奇偶性，考查反函數，考查恒成立問題，解題的關鍵是分離參數，確定函數的最值，屬于中檔題．