【題目】如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=1,∠BAC=90°,異面直線A1B與B1C1所成的角為60°.
(1)求該三棱柱的體積;
(2)設D是BB1的中點,求DC1與平面A1BC1所成角的正弦值.
【答案】（1）
；（2）
【解析】
(1)如圖,以A點為原點,
為x,y,z軸正方向,建立空間直角坐標系.利用異面直線A1B與B1C1所成的角為60°求得h=1即得該三棱柱的體積.(2)利用向量法求DC1與平面A1BC1所成角的正弦值.
(1)如圖,以A點為原點,為x,y,z軸正方向,建立空間直角坐標系.
設AA1=h,則B(1,0,0),C(0,1,0),A1(0,0,h),
則
=(-1,0,h),
=(-1,1,0).
因為直線A1B與B1C1所成的角為60°,
所以|cos<
>|=
,
解得h=1.
于是三棱柱體積V=Sh=×1×1=.
(2)由(1)知=(-1,0,1),C1(0,1,1),
=(-1,1,1).
設平面A1BC1的法向量n=(x,y,z),
則
可取n=(1,0,1).
又因為D
.
于是sin θ=|cos<
,n>|=
,
所以DC1與平面A1BC1所成角的正弦值為.
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【題目】已知函數f（x）= 
x3﹣ 
ax2 ， a∈R，
（1）當a=2時，求曲線y=f（x）在點（3，f（3））處的切線方程；
（2）設函數g（x）=f（x）+（x﹣a）cosx﹣sinx，討論g（x）的單調性并判斷有無極值，有極值時求出極值．
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【題目】如圖，已知四棱錐P﹣ABCD，△PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E為PD的中點．
（Ⅰ）證明：CE∥平面PAB；
（Ⅱ）求直線CE與平面PBC所成角的正弦值．
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【題目】如圖，在三棱錐A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，點E、F（E與A、D不重合）分別在棱AD，BD上，且EF⊥AD． 求證：（Ⅰ）EF∥平面ABC；
（Ⅱ）AD⊥AC．
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【題目】已知橢圓
：
經過點
（
，
），且兩個焦點
，
的坐標依次為（
1，0）和（1，0）．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）設
，
是橢圓上的兩個動點，
為坐標原點，直線
的斜率為
，直線
的斜率為
，求當
為何值時，直線
與以原點為圓心的定圓相切，并寫出此定圓的標準方程．
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【題目】已知等差數列{an}的前n項和為Sn ， 等比數列{bn}的前n項和為Tn ， a1=﹣1，b1=1，a2+b2=2．
（Ⅰ）若a3+b3=5，求{bn}的通項公式；
（Ⅱ）若T3=21，求S3 ．
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【題目】已知圓M過C(1,-1),D(-1,1)兩點，且圓心M在x+y-2=0上．
（1）求圓M的方程；
（2）設點P是直線3x+4y+8=0上的動點，PA,PB是圓M的兩條切線，A,B為切點，求四邊形PAMB面積的最小值．
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