Question

設函數f（x）=x³-3x²+2
（1）求函數f（x）的單調區間；
（2）若函數y=f（x）-m在區間[-2，4]上有三個零點，求實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,利用導數研究函數的極值

專題：導數的綜合應用

分析：（1）求導數f′（x），在定義域內解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0可求；
（2）求得f（x）的極值，利用數形結合即可得到結論．

解答： 解：（1）由f（x）=x³-3x²+2，得f′（x）=3x²-6x=3x（x-2），
當f′（x）＞0時，解得x＜0或x＞2；
當f′（x）＜0時，解得0＜x＜2．
故函數f（x）的單調遞增區間是（-∞，0），（2+∞））；
單調遞減區間是（0，2）．
（2）由（1）知函數f（x）的單調遞增區間是（-∞，0），（2+∞））；
單調遞減區間是（0，2）．
∴函數在[-2，0）上遞增，在[0，2]上遞減，在[2，4]上遞增，
且函數在x=0處取得極大值f（0）=2，在x=2處取得極小值f（2）=-2，
∵f（4）=18，f（-2）=-18，
若函數y=f（x）-m在區間[-2，4]上有三個零點，
等價為f（x）=m有三個不同的根
則有-2＜m＜2，故實數m的取值范圍（-2，2）．

點評：該題考查利用導數研究函數的單調性、極值、函數的零點，考查不等式的求解，考查學生綜合運用知識解決問題的能力