Question

設f(x)＝x³，等差數列{a_n}中a₃＝7，，記S_n＝，令b_n＝a_nS_n，數列的前n項和為T_n．

（1）求{a_n}的通項公式和S_n；                  

（2）求證：T_n＜；

（3）是否存在正整數m，n，且1＜m＜n，使得T₁，T_m，T_n成等比數列？若存在，求出m，n的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）設數列的公差為，由，．

解得,＝3,∴∵

∴S_n＝＝．…4分

(2)  ，∴  

∴。                     ………………………8分

(3)由(2)知，    ∴，

  ∵成等比數列．

∴ ，即………………………9分

當時，7，＝1，不合題意；

當時，，＝16，符合題意；………………………10分

當時，，無正整數解；當時，，無正整數解；

當時，，無正整數解；

當時，，無正整數解； ………………………12分

當時， ，則，而，

所以，此時不存在正整數m，n，且1<m<n，使得成等比數列． ………15分

綜上，存在正整數m＝2，n＝16，且1<m<n，使得成等比數列．…………16分