設f(x)＝
x3＋mx2＋nx.
(1)如果g(x)＝f′(x)－2x－3在x＝－2處取得最小值－5，求f(x)的解析式；
(2)如果m＋n<10(m，n∈N*)，f(x)的單調遞減區間的長度是正整數，試求m和n的值．(注：區間(a，b)的長度為b－a)．
解析 (1)由題得g(x)＝x2＋2(m－1)x＋(n－3)＝(x＋m－1)2＋(n－3)－(m－1)2，已知g(x)在x＝－2處取得最小值－5，
所以
即m＝3，n＝2.
即得所要求的解析式為f(x)＝x3＋3x2＋2x.
(2)因為f′(x)＝x2＋2mx＋n，且f(x)的單調遞減區間的長度為正整數，故f′(x)＝0一定有兩個不同的根，
從而Δ＝4m2－4n>0，即m2>n.
不妨設為x1，x2，則|x2－x1|＝2
為正整數．
故m≥2時才可能有符合條件的m，n，
當m＝2時，只有n＝3符合要求，
當m＝3時，只有n＝5符合要求，
當m≥4時，沒有符合要求的n.
綜上所述，只有m＝2，n＝3或m＝3，n＝5滿足上述要求．
全能測控期末小狀元系列答案
智趣暑假溫故知新系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
(本題滿分16分)
設f(x)＝x3，等差數列{an}中a3＝7，
，記Sn＝
，令bn＝anSn，數列
的前n項和為Tn．
（1）求{an}的通項公式和Sn；
（2）求證：Tn＜
；
（3）是否存在正整數m，n，且1＜m＜n，使得T1，Tm，Tn成等比數列？若存在，求出m，n的值，若不存在，說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
(本題滿分16分)
設f(x)＝x3，等差數列{an}中a3＝7，
，記Sn＝
，令bn＝anSn，數列
的前n項和為Tn．
（1）求{an}的通項公式和Sn；
（2）求證：Tn＜
；
（3）是否存在正整數m，n，且1＜m＜n，使得T1，Tm，Tn成等比數列？若存在，求出m，n的值，若不存在，說明理由．
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設f(x)＝x3，等差數列{an}中a3＝7，
，記Sn＝
，令bn＝anSn，數列
的前n項和為Tn．
（1）求{an}的通項公式和Sn；
（2）求證：Tn＜
；
（3）是否存在正整數m，n，且1＜m＜n，使得T1，Tm，Tn成等比數列？若存在，求出m，n的值，若不存在，說明理由．
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設f(x)＝x3，等差數列{an}中a3＝7，
，記Sn＝
，令bn＝anSn，數列
的前n項和為Tn．
（1）求{an}的通項公式和Sn；
（2）求證：Tn＜
；
（3）是否存在正整數m，n，且1＜m＜n，使得T1，Tm，Tn成等比數列？若存在，求出m，n的值，若不存在，說明理由．
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