Question

（本題滿分12分）
函數，其中為常數．
（1）證明：對任意，的圖象恒過定點；
（2）當時，判斷函數是否存在極值？若存在,求出極值；若不存在,說明理由；
（3）若對任意時，恒為定義域上的增函數，求的最大值．

Answer 1

解：（1）令，得，且，
所以的圖象過定點；  
（2）當時，， 
令，經觀察得有根，下證明無其它根．
，當時，，即在上是單調遞增函數．
所以有唯一根；且當時，，在 上是減函數；當時，，在上是增函數；
所以是的唯一極小值點．極小值是．
（3），令
由題設，對任意，有，，
又   
當時，，是減函數；
當時，，是增函數；
所以當時，有極小值，也是最小值，
又由得，得，即的最大值為．

略