Question

已知△的兩個頂點的坐標分別是，，且所在直線的斜率之積等于．

（1）求頂點的軌跡的方程，并判斷軌跡為何種圓錐曲線；

（2）當時，過點的直線交曲線于兩點，設點關于軸的對稱點為(不重合)， 試問：直線與軸的交點是否是定點？若是，求出定點，若不是，請說明理由.

 

Answer 1

（1）詳見解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）設出頂點C的坐標，由AC，BC所在直線的斜率之積等于m（m≠0）列式整理得到頂點C的軌跡E的方程，然后分m的不同取值范圍判斷軌跡E為何種圓錐曲線；
（2）把代入E得軌跡方程，由題意設出直線l的方程，和橢圓方程聯立后利用根與系數關系求出M，N兩點的橫坐標的和與積，由兩點式寫出直線MQ的方程，取y=0后求出x，結合根與系數關系可求得x=2，則得到直線MQ與x軸的交點是定點，并求出定點．.

試題解析：（1）由題知：

化簡得： 2分

當時 軌跡表示焦點在軸上的橢圓，且除去兩點；

當時 軌跡表示以為圓心半徑是１的圓，且除去兩點；

當時 軌跡表示焦點在軸上的橢圓，且除去兩點；

當時 軌跡表示焦點在軸上的雙曲線，且除去兩點； 6分

（2）設

依題直線的斜率存在且不為零，則可設:，

代入整理得

，， 9分

又因為不重合，則

的方程為 令，

得

故直線過定點. 14分

解二：設

依題直線的斜率存在且不為零，可設:

代入整理得：

,， 9分

的方程為 令，

得

直線過定點 14分

考點：1.橢圓的簡單性質；2.與直線有關的動點軌跡方程.