Question

給定拋物線C：y²＝4x，F是C的焦點，過點F的直線l與C相交于A、B兩點．

(1)設l的斜率為1，求與的夾角的大小；

(2)設＝λ，若λ∈[4，9]，求l在y軸上截距的變化范圍．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)C的焦點為F(1，0)，直線l的斜率為1，所以l的方程為y＝x－1． 　　將y＝x－1代入方程y2＝4x，并整理得x2－6x＋1＝0． 　　設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有x1＋x2＝6，x1x2＝1．·＝(x1，y1)·(x2，y2)＝x1x2＋y1y2＝2x1x2(x1＋x2)＋1＝－3． 　　||||＝·＝＝． 　　cos(，)＝＝－． 　　所以與夾角的大小為π－arccos． 　　(2)由題設＝λ 　　得(x2－1，y2)＝λ(1－x1，－y1)， 　　即 　　由②得y22＝λ2y12，∵y12＝4x1，y22＝4x2， 　　∴x2＝λ2x1．③聯立①、③解得x2＝λ，依題意有λ＞0． 　　∴B(λ，2)，或B(λ，－2)，又F(1，0)，得直線l方程為 　　(λ－1)y＝2(x－1)或(λ－1)y＝－2(x－1)， 　　當λ∈[4，9]時，l在方程y軸上的截距為或－， 　　由＝＋，可知在[4，9]上是遞減的， 　　∴≤≤，－≤－≤－， 　　直線l在y軸上截距的變化范圍為[－，－]∪[，]． 　　分析：本小題主要考查拋物線的性質，直線與拋物線的關系以及解析幾何的基本方法、思想和綜合解題能力．