Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=AA₁=3a，BC=2a，D是BC的中點，E，F分別是A₁A，C₁C上一點，且AE=CF=2a．
（1）求證：B₁F⊥平面ADF；
（2）求三棱錐B₁-ADF的體積；
（3）求證：BE∥平面ADF．

Answer 1

分析：（1）由直棱柱的性質，得B₁B⊥底面ABC，從而有AD⊥B₁B，結合等腰△ABC中AD⊥BC，證出AD⊥平面B₁BCC₁，從而得出AD⊥B₁F，矩形B₁BCC₁中利用Rt△DCF≌Rt△FC₁B₁證出∠B₁FD=90°，從而B₁F⊥FD，最后根據AD∩FD=D，證出B₁F⊥平面AFD；
（2）由（1）B₁F⊥平面AFD，得B₁F是三棱錐B₁-ADF的高．根據題中數據分別算出AD、DF、B₁F的長度，用錐體體積公式即可算出棱錐B₁-ADF的體積；
（3）連EF、EC，設EC∩AF=M，連結DM．矩形AEFC中證出M為EC中點，從而得到MD是△CBE的中位線，得到MD∥BE，再利用線面平行判定定理，即可證出BE∥平面ADF．

解答：解：（1）∵AB=AC，D為BC中點，∴AD⊥BC．
在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
∵B₁B⊥底面ABC，AD?底面ABC，∴AD⊥B₁B．
∵BC∩B₁B=B，∴AD⊥平面B₁BCC₁．
∵B₁F?平面B₁BCC₁，∴AD⊥B₁F．
在矩形B₁BCC₁中，∵C₁F=CD=a，B₁C₁=CF=2a，
∴Rt△DCF≌Rt△FC₁B₁．
∴∠CFD=∠C₁B₁F．∴∠B₁FD=90°，可得B₁F⊥FD．
∵AD∩FD=D，∴B₁F⊥平面AFD．
（2）∵B₁F⊥平面AFD，∴B₁F是三棱錐B₁-ADF的高
等腰△ABC中，AD=

AC2-( 1 2 BC)2

=2

2

a，
矩形BB₁C₁C中，DF=B₁F=

a2+(2a)2

=

5

a
因此，三棱錐B₁-ADF的體積為
V B1-AFD=

1

3

×S_△AFD×B₁F=

1

3

×

1

2

×AD×DF×B 1F=

5 2

3

a3．
（3）連EF、EC，設EC∩AF=M，連結DM，
∵AE=CF=2a，∴四邊形AEFC為矩形，可得M為EC中點．
∵D為BC中點，∴MD∥BE．
∵MD?平面ADF，BE?平面ADF，∴BE∥平面ADF．

點評：本題在直四棱柱中證明線面平行、線面垂直，并求三棱錐的體積．著重考查了空間直線與平面平行的判定定理、直線與平面垂直的判定定理和錐體體積公式等知識，屬于中檔題．