Question

(07年四川卷理)（12分）已知函數，設曲線在點處的切線與軸的交點為，其中為正實數．

（Ⅰ）用表示；

(Ⅱ) 證明：對一切正整數的充要條件是

（Ⅲ）若，記，證明數列成等比數列，并求數列的通項公式。

Answer 1

本題綜合考察數列、函數、不等式、導數應用等知識，以及推理論證、計算及解決問題的能力。

解析：（Ⅰ）由題可得

所以過曲線上點的切線方程為，

即

令，得，即

顯然 ∴

（Ⅱ）證明：（必要性）

若對一切正整數，則，即，而，∴，即有

（充分性）若，由

用數學歸納法易得，從而，即

又 ∴

于是，

即對一切正整數成立

（Ⅲ）由，知，同理，

故

從而，即

所以，數列成等比數列，故，

即，從而

所以