Question

如圖，設橢圓C：（a＞b>0）的左、右焦點分別為F₁，F₂，上頂點為A，過點A與AF₂垂直的直線交x軸負半軸于點Q，且，若過 A，Q，F₂三點的圓恰好與直線l：相切，過定點 M（0，2）的直線l₁與橢圓C交于G，H兩點（點G在點M，H之間）。

（1）求橢圓C的方程；
（2）設直線l₁的斜率k>0，在x軸上是否存在點P（m，0），使得以PG，PH為鄰邊的平行四邊形是菱形？如果存在，求出m的取值范圍；如果不存在，請說明理由；
（3）若實數λ滿足，求λ的取值范圍。

Answer 1

解：（1）因為
所以F₁為F₂Q中點
設Q的坐標為（-3c，0），
因為AQ⊥AF₂，
所以b²=3c×c=3c²，a²=4c×c=4c²，且過A，Q，F₂三點的圓的圓心為F₁（-c，0），半徑為2c
因為該圓與直線l相切，
所以
解得c=1，
所以a=2，
故所求橢圓方程為。
（2）設l₁的方程為y=kx+2（k>0）
由得（3+4k²）x²+16kx+4=0
設G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），則
所以（x₁-m，y₁）+（x₂-m，y₂）
=（x₁+x₂-2m，y₁+y₂）
=（x₁+x₂-2m，k（x₁+x₂）+4）
（x₂-x₁，y₂-y₁）=（x₂-x₁，k（x₂-x₁））
由于菱形對角線互相垂直，因此
所以（x₂-x₁）[（x₁+x₂）-2m]+k（x₂-x₁）[k（x₁+x₂）+4]=0
故（x₂-x₁）[（x₁+x₂）-2m+k²（x₁+x₂）+4k]=0
因為k>0，
所以x₂-x₁≠0
所以（x₁+x₂）-2m+k²（x₁+x₂）+4k=0，
即（1+k²）（x₁+x₂）+4k-2m=0
所以
解得
即
因為k>0，
所以
故存在滿足題意的點P且m的取值范圍是。
（3）①當直線l₁斜率存在時，
設直線l₁方程為y=kx+2，代入橢圓方程
得（3+4k²）x²+16kx+4=0
由△>0，得
設G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），
則
又，
所以（x₁，y₁-2）=λ（x₂，y₂-2）
所以x₁=λx₂
所以
所以
所以
整理得
因為，
所以，即
所以
解得
又0＜λ＜1，
所以7-4＜λ＜1。
②當直線l₁斜率不存在時，直線l₁的方程為x=0，
此時，，，
所以
所以，
即所求λ的取值范圍是。