Question

設函數y=f（x）=ax³+bx²+cx+d圖象與y軸的交點為P，且曲線在P點處的切線方程為24x+y-12=0，若函數在x=2處取得極值-16，試求函數解析式，并確定函數的單調遞減區間．

Answer 1

分析：要確定解析式，即求a，b，c，d這四個參數，由f′（0）=c，且切線24x+y-12=0可解得c，把x=0代入24x+y-12=0可得P點的坐標為解d，再由函數f（x）在x=2處取得極值-16，解得a，b，從而求得解析式，然后由導數的正負來求單調區間．

解答：解：由y′=3ax²+2bx+c?f′（0）=c，
∵切線24x+y-12=0的斜率k=-24，
∴c=-24，把x=0代入24x+y-12=0得y=12．
得P點的坐標為（0，12），由此得d=12，
f（x）即可寫成f（x）=ax³+bx²-24x+12．
由函數f（x）在x=2處取得極值-16，
則得

-16=8a+4b-36 0=12a+4b-24

解得

a=1 b=3.

∴f（x）=x³+3x²-24x+12，f′（x）=3x²+6x-24．
令f′（x）＜0，得-4＜x＜2．
∴遞減區間為（-4，2）．

點評：本題主要考查了函數的極值點，導數的幾何意義以及用導數法研究函數的單調性及求函數的單調區間，屬中檔題．