Question

設S_n是首項為4，公差d≠0的等差數列{a_n}的前n項和，若S₃和S₄的等比中項為S₅．求：
（1）{a_n}的通項公式a_n；
（2）使S_n＞0的最大n值．

Answer 1

解：（1）由條件得：，（4分）
∵S_n=a₁n+n（n-1）d，
∴（12+5d）d=0，∵d≠0，得，
∴a_n=．（5分）
（2）由a_n=＞0，
得n＜，∴n=2時，S_n取最大值，
∴使S_n＞0的最大n的值為4．（5分）
分析：（1）由題設知首項為4，且S₃和S₄的等比中項為S₅由此建立方程即可求出公差d，從而求出其通項公式；
（2）由（1）的結論，利用數列的通項公式求出前n和的最大值是S₂，根據等差數列前n項和公式的函數特性即可得出使S_n＞0的最大n值．
點評：本題考查等數列與等比數列的綜合，考查由題設條件建立方程求公差，及根據通項公式求出數列的通項，由通項的求出數列前n項和的最大值以及由其函數特性判斷出使S_n＞0的最大n值，求解本題的關鍵是掌握了等差數列前n項和的函數特性-對稱性．