Question

已知拋物線的焦點為F₂，點F₁與F₂關于坐標原點對稱，直線m垂直于軸（垂足為T），與拋物線交于不同的兩點P、Q，且.
（Ⅰ）求點T的橫坐標；
（Ⅱ）若橢圓C以F₁,F₂為焦點，且F₁,F₂及橢圓短軸的一個端點圍成的三角形面積為1.
① 求橢圓C的標準方程；
② 過點F₂作直線l與橢圓C交于A,B兩點，設，若的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ） ；
（Ⅱ）（ⅰ；（ⅱ）.

解析試題分析：（Ⅰ）由題意得，，設，
則，.
由，
得即，①                       3分
又在拋物線上，則，②
聯立①、②易得                                      5分
（Ⅱ）（ⅰ）設橢圓的半焦距為，由題意得，
設橢圓的標準方程為，
由，解得                                    6分
從而                                   
故橢圓的標準方程為                             7分
（ⅱ）方法一：
容易驗證直線的斜率不為0，設直線的方程為
將直線的方程代入中得：.      8分
設，則由根與系數的關系，
可得：      ⑤
        ⑥                              9分
因為，所以，且.
將⑤式平方除以⑥式，得：

由
所以                             11分
因為，所以，
又，所以，
故
，
令，因為 所以，即，
所以.
而，所以. 
所以.                    14分
方法二：
1）當直線的斜率不存在時，即