Question

【題目】定義域為R的偶函數f（x）滿足對x∈R，有f（x+2）=f（x）﹣f（1），且當x∈[2，3]時，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，若函數y=f（x）﹣loga（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三個零點，則a的取值范圍是（ ）
A.
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】A
【解析】解：因為 f（x+2）=f（x）﹣f（1），且f（x）是定義域為R的偶函數

令x=﹣1 所以 f（﹣1+2）=f（﹣1）﹣f（1），f（﹣1）=f（1）

即 f（1）=0 則有，f（x+2）=f（x）

f（x）是周期為2的偶函數，

當x∈[2，3]時，f（x）=﹣2x2+12x﹣18=﹣2（x﹣3）2

圖象為開口向下，頂點為（3，0）的拋物線

∵函數y=f（x）﹣loga（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三個零點，

∵f（x）≤0，

∴g（x）≤0，可得a＜1，

要使函數y=f（x）﹣loga（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三個零點，

令g（x）=loga（|x|+1），

如圖要求g（2）＞f（2），可得

就必須有 loga（2+1）＞f（2）=﹣2，

∴可得loga3＞﹣2，∴3＜ ，解得﹣ ＜a＜ 又a＞0，

∴0＜a＜ ，

故選A；

根據定義域為R的偶函數f（x）滿足對x∈R，有f（x+2）=f（x）﹣f（1），可以令x=﹣1，求出f（1），再求出函數f（x）的周期為2，當x∈[2，3]時，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，畫出圖形，根據函數y=f（x）﹣loga（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三個零點，利用數形結合的方法進行求解；