Question

【題目】已知f(x)＝x2＋2xtanθ－1，x∈[－1，]，其中θ∈(－，)．

(1)當θ＝－時，求函數f(x)的最大值；

(2)求θ的取值范圍，使y＝f(x)在區間[－1，]上是單調函數．

Answer 1

【答案】(1) (2) (－，－]∪[，)

【解析】

（1）求出函數的解析式，根據二次函數的性質求出函數的最大值即可；

（2）根據二次函數的性質得到函數f（x）的單調性，求出tanθ的范圍，求出θ的范圍即可．

(1)當θ＝－時，f(x)＝x2－x－1

＝(x－)2－，x∈[－1，]．

∴當x＝－1時，f(x)的最大值為.

(2)函數f(x)＝(x＋tanθ)2－(1＋tan2θ)圖象的對稱軸為x＝－tanθ，

∵y＝f(x)在[－1，]上是單調函數，

∴－tanθ≤－1或－tanθ≥，

即tanθ≥1或tanθ≤－.

因此，θ角的取值范圍是(－，－]∪[，)．