Question

    （本小題12分）
如圖3，已知在側棱垂直于底面
的三棱柱中，AC="BC," AC⊥BC,點D是A₁B₁中點.
(1)求證：平面AC₁D⊥平面A₁ABB_1;
(2)若AC₁與平面A₁ABB₁所成角的正弦值
為，求二面角D- AC₁-A₁的余弦值.

Answer 1

（1）據題意A₁C₁=B₁C₁,
且D為A₁B₁中點
∴C₁D⊥A₁B₁, 又BB₁⊥面A₁B₁C₁, C₁D 面A₁B₁C₁，
∴BB₁⊥C₁D, ∴ C₁D⊥面A₁ABB₁,…………2分
又C₁D 面AC₁D
∴面AC₁D⊥平面A₁ABB₁………………………4分
（2）由（1）知C₁D⊥面A₁ABB₁,
∴∠C₁AD為AC₁與平面A₁ABB₁所成的角……6分
設AC=CB=1,AA₁=x,則AC₁=,C₁D=
sin∠C₁AD=, ∴x="2.  "  …………………8分
又因為AC、CB、CC₁兩兩互相垂直，所以可建立如圖所示的坐標系：
取面A₁C₁A的法向量為，設面ADC₁的法向量為，又C₁(0,0,2),A(1,0,0),D(1/2,1/2,2),
∴,,="0," ∴x-2z=0
="0" ,∴x+y="0" , 取z=1,則x=2,y=-2, ∴
 ………………………………11分
又D在面A₁AC₁上的射影為A₁C₁的中點，故二面角D- AC₁-A₁為銳角，
設為 ，所以  …………………………………………12分

略