Question

（本題滿分15分）已知函數.
（Ⅰ)當時，求函數的單調區間;
（Ⅱ）是否存在實數，使得函數有唯一的極值，且極值大于？若存在，,求的取值
范圍；若不存在，說明理由；
（Ⅲ）如果對，總有，則稱是的凸
函數，如果對，總有，則稱是的凹函數.當時，利用定義分析的凹凸性，并加以證明。

Answer 1

解：（Ⅰ）遞增，遞減；
（Ⅱ）；（Ⅲ）上為凸函數.上為凹函數.

本試題主要是考查了導數在研究函數中的 運用，求解函數的單調性，和函數的極值問題，以及函數的凸凹性的研究的綜合運用。
（1）利用定義域和導數來求解函數的單調區間的問題。
（2）因為
顯然才有唯一的極值點，利用這一點得到a的不等式，從而求解范圍。
（3）根據新的凸函數與凹函數的定義，借助于導數的思想來判定結論。
解：（Ⅰ）當時，             ………………2分
遞增，遞減                            ………………4分
（Ⅱ）
顯然才有唯一的極值點，它滿足
                                     ………………6分
消去，得， 方程的正跟比1大
                                               ………………8分
故                                             ………………9分
（Ⅲ）在處取得最小值
故上為凸函數，上為凹函數          ………………11分
下證上為凸函數：
不妨設
令 ……13分

故在上遞減，

即上為凸函數.
同理上為凹函數.                          ………………15分