Question

如圖22，在四棱錐P—ABCD中，側面PAD是正三角形，且與底面ABCD垂直，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD=60°，N是PB中點，過A、D、N三點的平面交PC于M，E為AD的中點.

圖22

（1）求證：EN∥平面PCD；

（2）求證：平面PBC⊥平面ADMN；

（3）求平面PAB與平面ABCD所成二面角的正切值.

Answer 1

(1)證明:∵AD∥BC,BC面PBC,AD面PBC,

∴AD∥面PBC.又面ADN∩面PBC=MN,

∴AD∥MN.∴MN∥BC.

∴點M為PC的中點.∴MNBC.

又E為AD的中點，∴四邊形DENM為平行四邊形.

∴EN∥DM.∴EN∥面PDC.

（2）證明:連接PE、BE,∵四邊形ABCD為邊長為2的菱形，且∠BAD=60°,

∴BE⊥AD.又∵PE⊥AD,∴AD⊥面PBE.∴AD⊥PB.

又∵PA=AB且N為PB的中點,

∴AN⊥PB.∴PB⊥面ADMN.

∴平面PBC⊥平面ADMN.

（3）解：作EF⊥AB，連接PF，∵PE⊥平面ABCD,∴AB⊥PF.

∴∠PFE就是平面PAB與平面ABCD所成二面角的平面角.

又在Rt△AEB中，BE=，AE=1，AB=2,∴EF=.又∵PE=,∴tan∠PFE===2,

即平面PAB與平面ABCD所成的二面角的正切值為2.