Question

如圖，已知四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，BC=2AD．
（Ⅰ）求證：AB⊥PD；
（Ⅱ）在線段PB上找出一點E，使AE∥平面PCD，指出點E的位置并加以證明．
（Ⅲ）若AB=

1

2

BC=1，PA=

2

2

，求直線PA與平面PDB所成的角．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由PA⊥平面ABCD，推知PA⊥AB．又AB⊥AD，PA∩AD=A，從而有AB⊥平面PAD，證得AB⊥PD．
（Ⅱ）取線段PB的中點E，PC的中點F，連接AE，EF，DF，則EF是△PBC中位線．可推知四邊形EFDA是平行四邊形，轉化出AE∥DF．再由線面平行的判定定理得證．
（Ⅲ）要求線面角，關鍵是找平面的垂線，取BD的中點H，連接AH，PH，根據AD=AB，得BD⊥AH因為BD⊥PA，從而BD⊥平面PAH，故可求．

解答：解：（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，
∴PA⊥AB．
∵AB⊥AD，PA∩AD=A，
∴AB⊥平面PAD，
∵PD?平面PAD，
∴AB⊥PD．…（4分）
（Ⅱ）取線段PB的中點E，PC的中點F，連接AE，EF，DF，
則EF是△PBC中位線．
∴EF∥BC，EF=

1

2

BC
∵AD∥BC，AD=

1

2

BC，
∴AD∥EF，AD=EF．
∴四邊形EFDA是平行四邊形，
∴AE∥DF．
∵AE?平面PCD，DF?平面PCD，
∴AE∥平面PCD．
∴線段PB的中點E是符合題意要求的點．…（9分）
（Ⅲ）取BD的中點H，連接AH，PH，
因為AD=AB，則BD⊥A
又因為BD⊥PA，
所以BD⊥平面PAH，
故∠APH為直線PA與平面PDB所成的角，
因為PH=AH=

2

2

，PA⊥AH，
所以∠APH=

π

4

，即直線PA與平面PDB所成的角為

π

4

．  …（15分）

點評：本題以四棱錐為載體，主要考查了線面平行與線線平行，線面垂直和線線垂直間的轉化，考查了轉化問題的能力，考查線面角．