Question

已知△ABC中，sinA（sinB+

3

cosB）=

3

sinC，BC=3，則△ABC的周長的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：把已知條件的左邊利用乘法分配律化簡，右邊由三角形的內角和定理，利用誘導公式及兩角和的正弦函數公式化簡后，左右兩邊抵消后，即可求出tanA的值，根據A的范圍，利用特殊角的三角函數值即可求出A的度數，然后利用正弦定理分別表示出AC和AB，利用三角形的周長的求法三邊相加，把A的度數代入利用特殊角的三角函數值化簡后，提取6，利用兩角和的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，根據B的范圍求出B+

π

6

的范圍，進而得到正弦函數的值域范圍，根據正弦函數的值域即可得到三角形周長的范圍．

解答：解：由sinA（sinB+

3

cosB）=

3

sinC，
得：sinAsinB+

3

sinAcosB=

3

sin[π-（A+B）]=

3

sin（A+B）=

3

sinAcosB+

3

cosAsinB，
即：sinAsinB=

3

cosAsinB，
得到：tanA=

3

，又A∈（0，π），得到A=

π

3

，
所以sinA=sin

π

3

=

3

2

，cosA=cos

π

3

=

1

2

，
根據正弦定理得：

BC

sinA

=

AB

sinC

=

AC

sinB

，
所以AB=

BCsinC

sinA

=

3sinC

3 2

=2

3

sinC；AC=

BCsinB

sinA

=

3sinB

3 2

=2

3

sinB，
則△ABC的周長=AB+AC+BC=2

3

sinC+2

3

sinB+3
=2

3

sin（π-A-B）+2

3

sinB+3
=2

3

（sinAcosB+cosAsinB）+2

3

sinB+3
=2

3

（

3

2

cosB+

1

2

sinB）+2

3

sinB+3
=3cosB+3

3

sinB+3
=6（

1

2

cosB+

3

2

sinB）+3
=6sin（B+

π

6

）+3
由0＜B＜

2π

3

，得到

π

6

＜B+

π

6

＜

5π

6

，
所以sin（B+

π

6

）的值域為（

1

2

，1]，
則△ABC的周長的取值范圍是（6，9]．
故答案為：（6，9]

點評：此題考查了誘導公式、兩角和的正弦函數公式以及正弦定理，考查了利用三角函數的數學思想求周長的范圍，是一道中檔題．