Question

為響應政府“還家鄉青山綠水，走生態發展之路”的號召，某縣兩村F₁、F₂準備種植圍繞村莊的防護林，如圖，在與兩個村同一條直線上有兩個機井A₁，A₂，兩村在兩個機井之間，每個村到兩機井的距離都分別為3千米與1千米，根據現有地理特點，兩村擬定每個種植點距兩村距離和等于兩機井間距離．
（Ⅰ）請你利用所學知識，建立適當的平面直角坐標系，求出種植點所在的曲線方程；
（Ⅱ）已知過F₂村有一條小路l，且斜率為1，試求在小路l上的兩個種植點間距離．

Answer 1

分析：（Ⅰ）以A₁A₂所在直線為x軸，線段A₁A₂的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系，根據兩村擬定每個種植點距兩村距離和等于兩機井間距離，兩機井間距離為10千米，由橢圓的定義可知，種植點所在的曲線為以A₁A₂為長軸，F₁、F₂為焦點的橢圓，從而可得種植點所在的曲線方程；
（Ⅱ）小路l所在直線方程為：y=x-1，代入橢圓方程，求出交點坐標，利用兩點間的距離公式，即可得到結論．

解答：解：（Ⅰ）以A₁A₂所在直線為x軸，線段A₁A₂的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系．
∵兩村擬定每個種植點距兩村距離和等于兩機井間距離，兩機井間距離為10千米
∴由橢圓的定義可知，種植點所在的曲線為以A₁A₂為長軸，F₁、F₂為焦點的橢圓
設橢圓方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），則a+c=3，a-c=1，所以a=2，c=1，b=

a2-c2

=

3

．
∴種植點所在的曲線方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（Ⅱ）由題意，小路l所在直線方程為：y=x-1，代入橢圓方程，消去y可得7x²-8x-8=0
∴x=

4+6 2

7

或x=

4-6 2

7

∴y=

-3+6 2

7

或y=

-3-6 2

7

∴兩點之間距離為

( 4+6 2 7 - 4-6 2 7 )2+( -3+6 2 7 - -3-6 2 7 )2

=

24

7

即在小路l上的兩個種植點間距離為

24

7

千米．

點評：本題考查利用數學知識解決實際問題，考查直線與橢圓的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．