Question

【題目】數列滿足，．

（1）設，求數列的通項公式；

（2）設，求數列的前n項和為．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）由已知，得，

即，即，即．（2分）

所以，，…，，

以上各式相加得．

又，所以．（5分）

（2）由（1）知，所以，

．（7分）

所以

．（10分）

【易錯提醒】（1）對遞推式變形時，應明確方向，準確把握數列的遞推關系，通過變形將其轉化為常見的等差、等比數列問題求解是解決此類問題的基本思路；（2）構造新數列時，一定要注意原數列的項與新數列的項之間的對應，如本題中第（1）問，，則的表達式既不是，也不是，而是，即把式子中所有的都換成．

【解題技巧】求解數列遞推關系式問題的基本原則就是對數列的遞推式進行變換，把原問題轉換為等差、等比數列進行處理．轉化的常用方法有：（1）待定系數法，如，可以通過待定系數將其轉化為形如的等比數列；（2）取倒數法，如本題；（3）觀察變換法，如，可以在兩端同時除以，轉化為形如的等差數列；（4）取對數法等．求解數列遞推關系式問題要注意選取合適的變換遞推式的方法，通過變換進行解答，在變換時要小心謹慎．