Question

近年來玉制小掛件備受人們的青睞，某玉制品廠去年的年產量為10萬件，每件小掛件的銷售價格平均為100元，生產成本為80元，從今年起工廠投入100萬元科技成本，并計劃以后每年比上一年多投入100萬元科技成本，預計產量每年遞增1萬件，設第n年每件小掛件的生產成本g（n）=

80

n 2 +1

元，若玉制產品的銷售價不變，第n年的年利澗為f（n）萬元（今年為第1年）．
（I）求f（n）的表達式；
（II）問從今年算起第幾年的利潤最高？最高利潤為多少萬元？

Answer 1

分析：（I）第n年利潤f（n）=第n年銷售額-第n年成本，成本=生產成本+科技成本，即可得到f（n）的表達式；
（II）換元，利用基本不等式，即可求得最高利潤．

解答：解：（I）據題意，第n年產量為n+10（萬件），銷售額為100（n+10）（萬元），科技成本為100n萬元．
∴f（n）=（10+n）×100-（10+n）×

80

n 2 +1

-100n=1000-

80(n+10)

n 2 +1

（6分）
（II）令

n 2 +1

=t，得n=2t²-2，則f（n）=g（t）=1000-160（t+

4

t

）≤360
當且僅當t=

4

t

，即t=2，亦即n=6時，取等號
故從今年起，第6年的利潤最高，且最高利潤為360（萬元） （13分）

點評：本題考查數列、函數、均值不等式以及實際應用題的建模、用模能力，屬于中檔題．