Question

（2012•東至縣模擬）近年來玉制小掛件備受人們的青睞，某玉制品廠去年的年產(chǎn)量為10萬件，每件小掛件的銷售價(jià)格平均為100元，生產(chǎn)成本為80元．從今年起工廠投入100萬元科技成本，并計(jì)劃以后每年比上一年多投入100萬元科技成本，預(yù)計(jì)產(chǎn)量每年遞增1萬件．設(shè)第n年每件小掛件的生產(chǎn)成本g(n)=

80

n+1

元，若玉制產(chǎn)品的銷售價(jià)格不變，第n年的年利潤為f（n）萬元．（今年為第1年）
（1）求f（n）的表達(dá)式；
（2）問從今年算起第幾年利潤最高？最高利潤為多少萬元？

Answer 1

分析：（1）第n年的年利潤等于產(chǎn)量乘以銷售價(jià)格減去生產(chǎn)成本，化簡即可；
（2）對函數(shù)化簡，利用基本不等式可求哪一年利潤最高．

解答：解：（1）由題意得，f(n)=(10+n)×100-(10+n)×

80

n+1

-100n
=1000-

80(n+10)

n+1

（n為正整數(shù)）．…．（7分）
（2）f(n)=1000-80[

n+1

+

9

n+1

]，…（9分）
由

n+1

+

9

n+1

≥2

9

=6，當(dāng)且僅當(dāng)n=8時(shí)等號成立，得出f（n）≤520，…．（13分）
因此第8年利潤最高為520萬元．…（14分）

點(diǎn)評：本題以實(shí)際問題為載體，考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查基本不等式的運(yùn)用，屬于中檔題