Question

（本小題滿分13分）
如圖，已知拋物線，過點作拋物線的弦,．

（Ⅰ）若,證明直線過定點，并求出定點的坐標；
（Ⅱ）假設直線過點，請問是否存在以為底邊的等腰三角形? 若存在，求出的個數？如果不存在，請說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）直線過定點.；（Ⅱ）滿足條件的等腰三角形有且只有一個．

（1）設出直線的方程，注意討論斜率是否存在，與拋物線聯立，利用，轉化為坐標運算，數量積為0，找到直線中兩個參數的關系，即找到直線過定點；（2）在（1）的條件下，
把用代換，求出中點的坐標，用表示，若存在以為底邊的等腰三角形，也就是，整理得關于的方程，解方程就得到滿足條件的三角形及其個數.
（Ⅰ）設直線的方程為，點、的坐標分別為.
由消，得.
由，得,.
∵，∴，∴.

∴，
∴或.
∴或，∵恒成立. ∴.
∴直線的方程為 ，∴直線過定點. ………………………………（6分）
（Ⅱ）假設存在以為底邊的等腰三角形，由第（Ⅰ）問可知，將用代換得
直線的方程為.設點、的坐標分別為.
由消，得.
∴  .
∵的中點坐標為，即，
∵，∴的中點坐標為.
由已知得，即． 
設，則，
在上是增函數.
又，在內有一個零點.
函數在上有且只有一個零點，即方程在上有唯一實根．
所以滿足條件的等腰三角形有且只有一個．……………………………………………………… （13分）