Question

【題目】如圖，在直二面角中，四邊形是矩形，，，是以為直角頂點的等腰直角三角形，點是線段上的一點，.

（Ⅰ）證明：面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）要證線面垂直，一般要證兩個線線垂直，觀察直角三角形中，由已知三個線段長，可由射影定理（或相似三角形）由平面幾何知識可證（也可余弦定理求出，再勾股定理證得此結論．），另外有面面垂直，用，可得與平面垂直，從而有，有了這兩個線線垂直，就可得線面垂直；（Ⅱ）要求二面角，圖形中兩兩垂直，以它們坐標軸建立空間直角坐標系后，可寫出各點坐標，從而可求得平面和平面的法向量，由法向量夾角與二面角相等（或互補）可求得二面角．

試題解析：（Ⅰ）證明：由題意知：，，

.

∵,∴.

∵平面平面，平面平面，

，平面，∴平面.

∵平面，∴.

∵，∴平面.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知、、兩兩互相垂直，以為原點，方向為軸的正方向建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，.

∵，，∴．

∴，.

設是平面的法向量，則，

∴，取得平面的一個法向量，

又平面的一個法向量，

設二面角的平面角為，由題中條件可知，

則，

∴二面角的余弦值為.