Question

已知AB為半圓的直徑，P為半圓上一點，以A、B為焦點且過點P做橢圓，當點P在半圓上移動時，橢圓的離心率有（　　）

• A．最大值

  1

  2

• B．最小值

  1

  2

• C．最大值

  2

  2

• D．最小值

  2

  2

Answer 1

分析：根據直徑所對的圓周角為直角得到∠APB=90°，可得|PA|²+|PB|²=|AB|²，再利用基本不等式算出|PA|+|PB|≤

2

|AB|．再由以A、B為焦點的橢圓經過點P，利用橢圓的定義與離心率的公式加以計算，可得當|PA|=|PB|時，橢圓的離心率有最小值

2

2

．

解答：解：∵AB為半圓的直徑，點P在半圓上．
∴∠APB=90°，可得|PA|²+|PB|²=|AB|²．
根據基本不等式，得（|PA|+|PB|）²≤2（|PA|²+|PB|²）=2|AB|²，
∴|PA|+|PB|≤

2

|AB|．
又∵以A、B為焦點的橢圓經過點P，
∴橢圓的長軸2a=|PA|+|PB|，焦距2c=|AB|，
由此可得橢圓的離心率e=

2c

2a

=

|AB|

|PA|+|PB|

≥

|AB|

2 |AB|

=

2

2

．
即當|PA|=|PB|時，橢圓的離心率有最小值

2

2

．
故選：D

點評：本題給出以半圓的直徑AB為焦點的橢圓經過半圓上一點P，求橢圓離心率的最值．著重考查了圓周角定理、利用基本不等式求最值和橢圓的簡單幾何性質等知識，屬于中檔題．