Question

（本小題滿分13分）
為回饋顧客，某商場擬通過摸球兌獎的方式對1000位顧客進(jìn)行獎勵，規(guī)定：每位顧客從一個裝有4個標(biāo)有面值的球的袋中一次性隨機(jī)摸出2個球，球上所標(biāo)的面值之和為該顧客所獲的獎勵額.
（1）若袋中所裝的4個球中有1個所標(biāo)的面值為50元，其余3個均為10元，求
①顧客所獲的獎勵額為60元的概率
②顧客所獲的獎勵額的分布列及數(shù)學(xué)期望;
（2）商場對獎勵總額的預(yù)算是60000元，并規(guī)定袋中的4個球只能由標(biāo)有面值10元和50元的兩種球組成，或標(biāo)有面值20元和40元的兩種球組成.為了使顧客得到的獎勵總額盡可能符合商場的預(yù)算且每位顧客所獲的獎勵額相對均衡，請對袋中的4個球的面值給出一個合適的設(shè)計，并說明理由.

Answer 1

(1)  ,參考解析;(2)參考解析

試題分析：(1)由袋中所裝的4個球中有1個所標(biāo)的面值為50元，其余3個均為10元,又規(guī)定每位顧客從
一個裝有4個標(biāo)有面值的球的袋中一次性隨機(jī)摸出2個球，球上所標(biāo)的面值之和為該顧客所獲的獎勵額..由獲得60元的事件數(shù)除以總的事件數(shù)即可. 顧客獲得獎勵有兩種情況20元,60元.分別計算出他們的概率,再利用數(shù)學(xué)期望的公式即可得結(jié)論.
(2) 根據(jù)商場的預(yù)算，每個顧客的平均獎勵為60元.根據(jù)題意有兩種獲獎勵的情況,確定符合題意的方案,分別僅有一種.再分別計算出兩種方案相應(yīng)的概率以及求出數(shù)學(xué)期望和方差.即可得到結(jié)論.
試題解析：(1)設(shè)顧客所獲的獎勵為X. ①依題意,得.即顧客所獲得的獎勵額為60元的概率為.
②依題意,得X的所有可能取值為20,60. .即X的分布列為

X	20	60
P	0.5	0.5

所以顧客所獲得的獎勵額的期望為（元）.
(2)根據(jù)商場的預(yù)算，每個顧客的平均獎勵為60元.所以先尋找期望為60元的可能方案.對于面值由10元和50元組成的情況,如果選擇(10,10,10,50)的方案,因為60元是面值之和的最大值,所以期望不可能為60元;如果選擇(50,50,50,10)的方案,因為60元是面值之和的最小值,所以數(shù)學(xué)期望也不可能為60元,因此可能的方案是(10,10,50,50),記為方案1.對于面值由20元和40元組成的情況,同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案,所以可能的方案是(20,20,40,40),記為方案2.以下是對兩個方案的分析:對于方案1,即方案(10,10,50,50),設(shè)顧客所獲的獎勵為,則的分布列為

	20	60	100

的期望為,的方差為.
對于方案2,即方案(20,20,40,40),設(shè)顧客所獲的獎勵為,則的分布列為

	40	60	80

的期望為, 的方差為.由于兩種方案的獎勵額都符合要求,但方案2獎勵的方差比方案1的小,所以應(yīng)該選擇方案2.